Y a le Frido 2024 qu'est là

Par : LaurentClaessens Benoît Sibaud Guillaume Gasnier

16 septembre 2024 à 04:31

Le Frido est un livre de mathématique libre. Il est l'enveloppe convexe entre la matière de l'agrégation et les bases (axiomatique des ensembles non comprise). Autrement dit : il construit les ensembles de nombres, et va jusqu'au bout du programme de l'agrégation en bouchant tous les trous. En français, il comprend 2888 pages au 25 août 2024 et est publié sous licence FDL.

lien nᵒ 1 : Les sources LaTeX
lien nᵒ 2 : Téléchargement des pdf séparés et achat
lien nᵒ 3 : Achat du volume 1
lien nᵒ 4 : Le Frido, version courante
lien nᵒ 5 : Giulietta, version courante

Sommaire

Images de couvertures

Les images de couverture proviennent de Pepper et Carrot.

Image de couverture du tome 1

(pour voir les couvertures des tomes 2, 3 et 4)

Elles sont aussi visibles via les sources évidemment.

Changements depuis l'année passée

Intégration sur variétés

J'ai décidé que la partie parlant d'intégration sur les variétés allait être laissée à l'abandon.

Elle ne sert qu'à démontrer le point fixe de Brouwer via Stokes. Trop compliqué, trop long, pas adapté au niveau visé.
La preuve de Brouwer continu est maintenant faite de façon plus conventionnelle.
La géométrie différentielle est développée dans la partie en anglais.

Dérivation

La définition de la dérivée d'une fonction $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ n'est plus une définition «fondamentale». Les choses sont maintenant faites dans cet ordre :

Définition de la différentielle d'applications entre espaces de Banach.
Définition de la dérivée directionnelle comme application de la différentielle à un vecteur (la direction).
Définition des dérivées partielles comme cas particulier.
La dérivée «usuelle» est définition comme $f'=\partial_1f$ .

Ce qui est marrant avec la dernière définition est que $\partial_1$ peut être interprété soit comme la dérivée partielle dans la première direction (il y en a une seule dans $\mathbb{R}$ ) soit comme la dérivée directionnelle selon le vecteur .

Théorème de Stokes

Le théorème de Stokes est démontré. C'est un assez gros morceau.

Ce qu'il y a de mieux qu'ailleurs

Le Frido se distingue d'autres livres de math en cela qu'il est meilleur sur certains points.

Certains détails sont traités correctement.

Je me demande si je suis le seul au monde à avoir remarqué que, quand on parle de l'extension de corps K[a] , ce qu'on obtient dépend du corps ambiant dans lequel sont et .

Par exemple si je prend $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ … Il n'y a pas de problèmes à construire un sur-corps de $\mathbb{Q}$ contenant l'élément $\sqrt{2}$ dans lequel $\sqrt{2}^2=3$ .

Ce genre de détails sont traités dans le Frido, l'exemple de $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ est donné en détail, et il est bien fait mention que la notation $\mathbb{Q}[a]$ réfère toujours à des sous-corps de $\mathbb{C}$ .

Notation pour les dérivées partielles

Considérez les trois fonctions suivantes : $f,g,h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ données par

$f(x,y)=x\sin(y)$

$g(u,v)=u\sin(v)$

$h(y,x)=y\sin(x)$

Est-ce que vous oseriez écrire f=g=h ? Si oui, c'est que vous pouvez remplacer «» par «» ou «h» partout. Alors que signifie $\frac{\displaystyle\partial g}{\displaystyle\partial x}$ ?

Bien que ces infectes notations « $\frac{\partial f}{\partial x}$ » soient utilisées à quelques endroits dans le Frido, je m'efforce à écrire $(\partial_if)$ qui signifie la dérivée de dans la -ième direction.

Un minimum de notations

Bien que je sois un psychorigide sur les abus de notations, le Frido a une autre règle : utiliser un minimum de symboles difficiles à écrire. Tout doit pouvoir être écrit à la main sur des feuilles volantes dans le tram.

pas de gras pour les vecteurs (impossible à rendre à la main)
le même symbole «» est utilisé pour $\mathbb{K}^*$ pour dire $\mathbb{K}\setminus\{0\}$ et dans pour désigner le dual algébrique.

Variétés et cartes

D'habitude, on définit une variété comme étant un ensemble avec des cartes provenant d'ouverts de $\mathbb{R}^n$ .

Or on définit quand même souvent des variétés avec des cartes ne provenant pas de $\mathbb{R}^n$ . Par exemple lorsqu'on travaille sur des sous-groupes de Lie, on prend souvent la carte exponentielle provenant de l'algèbre de Lie.

Dans Giulietta (NdM : extension en anglais qui va de l’agrégation jusqu’à tout ce que l'auteur sait en mathématique), on définit correctement une variété comme ayant des cartes provenant d'ouverts d'espaces vectoriels normés quelconques. Il est alors démontré que toute telle variété est isomorphe à une variété avec des cartes de $\mathbb{R}^n$ .

Je ne me souviens pas avoir vu cette subtilité traitée quelque part. Notons qu'avec cette définition, on ne peut plus parler de l'ensemble de toutes les cartes.

Citations

Le Frido cite (à peu près) correctement ses sources. Chaque théorème vient avec les sources qui ont contribué soit à l'énoncé soit à la preuve. Les inventions personnelles sont mentionnées très explicitement. Pas peur de citer wikipédia, des commentaires sur math.stackexchange.com ou d'autres sources moins conventionnelles que des livres.

Je suis souvent ~~choqué~~ ~~étonné~~ par la quantité de cours mis en ligne par des profs se contentant de citer trois livres en disant «pour en savoir plus, le lecteur pourra consulter les ouvrages suivants». Ensuite, on va se plaindre que si les étudiants ne citent pas leurs sources dans leurs mémoires, c'est du plagiat.

Le plagiat massif est simplement la norme dans les textes de math que les profs mettent dans les mains des étudiants.

ChatGPT

Cette année, ChatGPT entre dans la bibliographie. C'est lui qui a fourni une partie de la preuve que si f_1 et f_2 sont mesurables (depuis le même espace) alors le vecteur (f_1, f_2) est mesurable.

Il y a d'ailleurs une belle anecdote à ce sujet.

ChatGPT se contente de prouver correctement que le théorème est vrai sur les mesurables de la forme $A_1\times A_2$ , et dit vaguement que si c'est bon sur une partie qui engendre la tribu produit, alors c'est bon pour toute la tribu. Typiquement le genre de trou dans la preuve que laisserait un humain.

Si vous voulez contribuer

Niveau facile

Lisez et écrivez-moi si vous trouvez une faute ou un passage pas clair. Critère : si vous êtes relativement bon en math et que vous mettez plus de 20 minutes sur une ligne, c'est qu'il y a un problème avec le texte.

Niveau intermédiaire

S'il manque une démonstration, rédigez-en une, faites une photo de votre feuille et envoyez-la moi.

Niveau difficile

Si vous êtes bon en géométrie différentielle, vous pouvez tenter de répondre à cette question:

https://math.stackexchange.com/questions/4917916/commute-two-sums-when-defining-integral-of-differential-manifold

Enjeu : toutes les définitions que je connais de l'intégrale d'une forme sur une variété sont fausses. Sauf celle que j'ai inventée moi-même.

Si vous vous y connaissez en processus de Poisson, vous pouvez répondre à cette question :

https://math.stackexchange.com/questions/4957480/density-of-the-vector-of-jump-times-in-a-poisson-process

Note : je ne suis même pas sûr que l'énoncé soit correct. La démonstration que je connais vient d'ici mais je ne suis pas convaincu.

Si vous être bon en probabilités, vous pouvez tenter de répondre à cette question :

https://math.stackexchange.com/questions/4961074/is-the-join-density-the-density-of-the-vector

Niveau supérieur

Vers la fin, il y a une section consacrée aux différentes propriétés et conjectures autour de la constante de Weiner. Si vous en connaissez d'autres, faites-le moi savoir.

LaTeX

Modifier l'environnement proof pour qu'il prenne un paramètre booléen optionnel inBook. Par défaut il vaut True et la démonstration est affichée. Si inBook est False, la démonstration n'est pas affichée. Au lieu de la preuve, il y a le texte «Voir la version en ligne : ».

La raison est expliquée plus bas.

Agreg (1)

Il me faut une liste des théorèmes dont les démonstrations peuvent être sautées pour un candidat à l'agreg. J'imagine que tout ce qui utilise explicitement le lemme de Zorn peut sauter, tout ce qui parle de topologie sur les espaces de distribution peut sauter, la partie sur les mesures peut partir, etc.

Pour la raison de ce besoin, voir plus bas.

Agreg (2)

Il me faut une liste de théorèmes qui peuvent servir de développements.

Contrainte

Je n'ai pas accès aux livres privateurs. Inutile de m'en conseiller un.

Ventes

Les chiffres

Précision sur le prix : le prix indiqué est le prix de vente côté imprimeur. Je ne gagne pas d'argent dessus. D'ailleurs je me demande bien qui achète le Frido …

Certes, le règlement de l'agrégation interdit les livres qui ne sont pas vendus (incidemment, les livres qui ne sont plus en vente sont interdits), mais j'ai du mal à croire qu'il y ait autant de monde qui utilise le Frido à l'agreg. Mais si ce n'est pas pour l'agreg, qui paye 100 euros pour avoir quatre briques de 6cm d'épaisseur A4 alors qu'on peut avoir un pdf sur un écran ?

Voici un tableau qui montre, pour chaque année, le nombre de livres vendus, et le prix total. Les cases avec un x correspondent au nombres dont je n'ai pas pris note.

année	prix de tout le Frido	Nombre de livres vendus
2016	x	51
2017	x	37
2018	x	30
2019	89,36	17
2020	x	32
2021	97,59	13
2022	x	x
2023	106,79	16
2024	110,88

Au total, ce sont 196 bouquins vendus plus ceux de 2022 dont je n'ai pas pris note. On doit être un peu au-dessus de 200.

Précisions :

La ligne 2021 correspond au Frido 2021 vendu entre septembre 2021 et septembre 2022. Plus généralement, la ligne N correspond aux ventes entre septembre N et septembre N+1.
En 2019, il fallait payer 89,36 euros pour acheter les 4 Fridos. 17 livres ont étés vendus. Le fait que 17 ne soit pas divisible en 4 est dû au fait que le tome 2 a été acheté 5 fois, tandis que les autres ont été vendus 4 fois.

Une pensée à propos des prix

La page 77 du rapport 2023 indique qu'un livre n'est autorisé que s'il jouit d'une diffusion commerciale. La motivation est que :

Cette restriction est motivée par le principe d'égalité des candidats : les ressources documentaires autorisées doivent être facilement accessibles à tout candidat au concours.

Je ne sais pas si l'auteur de ces lignes avait l’accessibilité financière en tête en rédigeant cela. Si oui, alors le Frido est probablement le seul livre autorisé à l'agreg :)

Quoi qu'il en soit, le Frido commençant à dépasser les 100 euros, il y a un problème.

Pour faire baisser le prix, il faut baisser le nombre de pages.
Une piste serait de supprimer les démonstrations des théorèmes non nécessaires à l'agreg.

Pour cela il me faudrait les deux contributions LaTeX et agreg (1) dont je parle plus haut :

LaTeX : Une modification de l'environnement proof.
Agreg : il me faut une liste des théorèmes dont les démonstrations peuvent être sautées pour un candidat à l'agreg.

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